力と力のモーメント

重要!剛体に働く力のつり合い

はじめに

大きさが無視できる質点から発展して、大きさを考慮する剛体というものを考えます。そこでの力のつり合いは、建築構造力学の応力問題を解く上で、重要な考え方が出てきます。
可能であれば、内容を理解してほしいですが、無理なようなら結果だけは覚えてください。
ただし、今回は覚えることが盛りだくさんです。

まとめ

力の作用線

剛体に力が働いたとき、力の延長線上のどこで力働いても、剛体に及ぼす影響は変わらないので、その延長線のことを「作用線」と呼びます。

剛体に働く平行でない2力のつり合い

連力図

力の多角形である、示力図を描き合力の「大きさ」と「向き」を求めます。
合力の作用線上の点は、連力図を描くことにより求まります。

剛体に働く平行な力のつり合い

方向が同じで大きさが異なる2力

F2の作用線上での移動
剛体に、平行で方向が同じで大きさが異なる2力が作用したとき、合力の大きさは2力の和となり、その作用位置は、力の大きさを逆比に内分する位置になります。

方向が異なり大きさが異なる2力

向きが違う2力

剛体に、平行で向きが逆で力の大きさが異なる2力が作用したとき、合力の大きさは2力の差で、方向は大きい力の方向になります。

作用位置は、逆比に外分する点になります。

偶力のモーメント

剛体に、平行で大きさが等しく向きが逆の力が作用したとき、その力の組は剛体に力のモーメントを及ぼしそれを偶力のモーメントと呼びます。
力の大きさをF、2力の最短距離をlとすれば、偶力のモーメント\( M_C \)は次のように表せます。

\[ M_C=F \cdot l \]

剛体とは

力のつり合いでは、「質点」という大きさが無視できるモノを扱いました。しかし、実際のモノは大きさがあります。それをモデル化したものが「剛体」です。質点を拡張し、体積(大きさ)を与え、さらに、力が作用しても変形しない物体です。
あくまでもモデルなので、質点と同じく現物はありません。

作用線

作用線とは、剛体に力が働いた際その力の延長線上のことです。力の前後に延長します。

力と作用線図1

剛体に力が働いたとき、作用線上であれば、剛体にもたらす効果は同じと考えます。

剛体の運動

建築構造力学では構造物を二次元として考えることから始めるので、剛体の運動も二次元で考えていきます。

剛体に1つの力が働いたときの運動は、次の二通りにわけられます。

剛体の運動図2

図2はなだらかな平面に置かれた板状の剛体です。

  • 図2a にあるように、質点と同じように力が加えられた方向に移動する運動。→並進運動
  • 図2bにあるように、ある点を中心に回転する運動。→回転運動

です。回転する場合の中心は、「重心」と呼んでいます。読んで字のごとく重さの中心です。

3次元でイメージして姑息ですが、板状の剛体の重心を正確に点で支えると、その剛体がきちんと宙に浮いた状態になります。
質点の運動を拡張して正確に求める方法もあるのですが、建築構造力学から逸脱するのでやめます。

剛体の運動は、並進運動と回転運動の組み合わせです。

剛体に働く平行でない2力の図上合成

図3に示すように、剛体に平行でない二つの力が作用したとします。

平行でない2力図3

 

建築構造力学では、図4に示すように「示力図(しりょくず)」と呼ぶ力の多角形を剛体の場所から離して描き、合力の大きさと方向を求めます。

示力図図4

合力の作用位置を求めるために、図5に示すように、紙面のテキトーな場所に「極点」Oをとり、O点から、各力の始点と終点に「連力線(れんりょくせん)」と呼ばれる直線を引きます。図では①~③の線が連力線になります。

連力線の作図図5

そして、「連力図」と呼ばれる図を描きます。

連力図図6

剛体上に描かれている力の作用線上のに図6のように連力線と平行な線を引きます。
Step1として、F1は①と②の連力線で挟まれているので、F1の作用線上に①と②の平行線が交差するように線を引きます。
Step2として、②と平行な線の延長と、力F2の作用線の交点から、③に平行な線を引きます。なぜなら、示力図でF2は②と③の線に挟まれているからです。
Step3として、①と③に平行な線の交点が合力の作用線上の点になります。示力図では、合力は①と③の線に挟まれています。
このような手順で描いた図を「連力図」と呼びます。

算式的な解法は、「バリニオンの定理」と呼ばれるものを使い計算します。まとめて別記事に記載します。

連力図が合力の作用位置を表す証明

ここでは、連力図と示力図から合力の作用線上の点が求まることを、力が2つの場合に限って証明します。力が増えても同じように証明できます。

連力図と示力図の証明図7

 

図7に示すように、F1とF2の作用線上の交点から、再度F1とF2を描きます。すると質点に働く2力の合成と同じになるので、合力の大きさと方向がわかります。
そこに、示力図と連力線を重ねて描きます。

つまり、示力図に示される四角形odeb

F1とF2を移動して描いた、四角形cdeb
が合同になるように描きます。

このとき、直線ceを延長し、さらに合力の先端b点から①の連力線に平行に線を引き
その交点をaとし、三角形abcを描きます。

すると、連力図に描いた三角形a’b’c’

三角形abcは3辺が平行なため、相似になります。
そのため、b’は合力の作用線上の点となります。

剛体に働く3以上の平行でない力の合成

質点に働く力のつり合いと同じように、剛体に働く平行でない2力のつり合いを繰り返し行ってください。

1 2

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA